Kiedy dowiadujemy się co to są liczby wymierne, najczęściej słyszymy o ułamkach.
Otóż liczby wymierne to takie liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Z kolei ułamek zwykły to wyrażenie dzielenia dwóch liczb całkowitych.
Każdą liczbę całkowitą da się zapisać w postaci takiego ułamka, więc zbiór liczb całkowitych zawiera się w zbiorze liczb wymiernych.
Ułamki najczęściej służą jako określanie części z całości. Na przykład, jeśli podzieliliśmy tort na 5 kawałków i zabraliśmy 2, to znaczy, że wzięliśmy dwie piąte tortu – oznaczmy to przez 2/5. Zostało natomiast trzy piąte tortu, czyli 3/5. Z kolei 2/5 + 3/5 = 1 lub 2/5 + 3/5 = 5/5. Działanie 5/5 = 1, gdyż ułamek to po prostu dzielenie dwóch liczb całkowitych, tylko zapisane za pomocą licznika, mianownika i kreski ułamkowej.
Zauważmy, że w powyższym przykładzie dodajemy tylko liczniki, a mianownik jest ten sam dla obydwu wyrażeń. Gdyby mianowniki były różne należałoby sprowadzić działanie do wspólnego mianownika.
Zbiór licz wymiernych jest zbiorem gęstym i przeliczalnym. Cóż to znaczy?
Gęstość oznacza, że pomiędzy dowolne dwie liczby różne od siebie można wstawić jakąś liczbę, większą od jednej i mniejszą od drugiej. Na przykład między 1/5 a 2/5 można wstawić liczbę (1/5 + 2/5)/2 i analogicznie dla każdego innego przypadku. Zbiór liczb całkowitych nie ma jeszcze tej własności, np. między 1 i 2 w zbiorze liczb całkowitych nic nie istnieje.
Przeliczalność oznacza możliwość przeliczenia liczb wymiernych liczbami naturalnymi. Te zbiory są równoliczne, pomimo własności gęstości liczb wymiernych.
